Lezioni di Analisi 1

Tre righe collegate mostrano come, dopo due integrazioni per parti, ricompare l’integrale iniziale. Il termine viene portato a sinistra e diviso per due. Il risultato è accompagnato dal controllo tramite derivazione.

1. Prima integrazione per parti

   Deriviamo il seno e integriamo l’esponenziale.

   $$I=\int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx$$

2. Seconda integrazione

   L’integrale iniziale ricompare con il segno che permette di isolarlo.

   $$I=e^x\sin x-e^x\cos x-I$$

3. Isolare e derivare

   Il controllo consiste nel derivare la primitiva trovata.

   $$I=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C$$