Un estremo non deve appartenere all’insieme

Punti della successione 2⁻ⁿ sull’asse reale: il primo è 1/2, gli altri si avvicinano a zero restando positivi. Il cerchio vuoto in zero indica che l’infimo non appartiene all’insieme, mentre il punto pieno in 1/2 è anche il massimo.

1. Guardare i valori

   La successione è positiva e decrescente.

   $$A=\left\{\frac12,\frac14,\frac18,\ldots\right\}$$

2. Separare massimo e minoranti

   1/2 appartiene all’insieme; 0 è un minorante ma non appartiene ad A.

   $$\max A=\sup A=\frac12,\quad\inf A=0$$

3. Giustificare l’infimo

   Per ogni ε>0 esiste un indice abbastanza grande. Il grafico da solo non è una dimostrazione.

   $$n>\log_2(1/\varepsilon)\ \Longrightarrow\ 0<2^{-n}<\varepsilon$$