Andrea MarroScrivimi su WhatsApp ↗
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Quando l’integrale torna al punto di partenza

Ricompare lo stesso integrale: è un errore o il passaggio utile?

Tre righe collegate mostrano come, dopo due integrazioni per parti, ricompare l’integrale iniziale.
Schema ricostruito dai materiali di Andrea

Tre righe collegate mostrano come, dopo due integrazioni per parti, ricompare l’integrale iniziale. Il termine viene portato a sinistra e diviso per due. Il risultato è accompagnato dal controllo tramite derivazione.

Il modello che usiamo

  • Variabile reale x; primitive definite a meno di una costante.

  1. Prima integrazione per parti

    Deriviamo il seno e integriamo l’esponenziale.

    I=∫exsin⁡x dx=exsin⁡x−∫excos⁡x dxI=\int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx

  2. Seconda integrazione

    L’integrale iniziale ricompare con il segno che permette di isolarlo.

    I=exsin⁡x−excos⁡x−II=e^x\sin x-e^x\cos x-I

  3. Isolare e derivare

    Il controllo consiste nel derivare la primitiva trovata.

    I=ex2(sin⁡x−cos⁡x)+CI=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C

Il risultato

∫exsin⁡x dx=ex2(sin⁡x−cos⁡x)+C\int e^x\sin x\,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C

Analisi 1

«Mi ha aiutato a comprendere molti argomenti di analisi 1 in maniera chiara.»
DANIELAAnalisi 1Estratto da una recensione su Superprof ↗

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