Andrea MarroScrivimi su WhatsApp ↗
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Linearizzare significa controllare tutte le derivate

Come colleghi il sistema non lineare alla sua matrice locale?

Modello linearizzato scritto nelle perturbazioni dello stato, ingresso e uscita.
Schema ricostruito dai materiali di Andrea

Modello linearizzato scritto nelle perturbazioni dello stato, ingresso e uscita. Nel piano degli autovalori compaiono due valori reali opposti, −2√7 e +2√7. Il valore positivo dimostra l’instabilità dell’equilibrio.

Il modello che usiamo

  • Sistema continuo: f₁=−x₁²−0,5x₂²+4u; f₂=x₁−2x₁x₂; y=4x₂. Il termine è 4u, non ux₂.
  • Punto assegnato x̄=(0,4), ū=2: è un equilibrio.
  • La linearizzazione si scrive nelle perturbazioni δx,δu,δy.

  1. Verificare il punto

    Sostituire i dati serve a non linearizzare per errore attorno a un punto non stazionario.

    f(xˉ,uˉ)=0f(\bar x,\bar u)=0

  2. Calcolare le derivate

    Il termine 4u dipende dall’ingresso, non da x₂. La matrice A stampata è corretta.

    ∂f1∂x2=−x2=−4,∂f1∂u=4\frac{\partial f_1}{\partial x_2}=-x_2=-4,\quad\frac{\partial f_1}{\partial u}=4

  3. Formare il modello locale

    Gli autovalori hanno segni opposti: equilibrio instabile.

    A=(0−4−70), B=(40), C=(04), D=0A=\begin{pmatrix}0&-4\\-7&0\end{pmatrix},\ B=\binom40,\ C=\begin{pmatrix}0&4\end{pmatrix},\ D=0

Il risultato

λ1,2=±27\lambda_{1,2}=\pm2\sqrt7

Sul mio modo di spiegare

«Spiega gli argomenti in modo semplice e chiaro»
MaddalenaEsperienza generale di lezioneEstratto da una recensione su Superprof ↗

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