La convoluzione si vede nei supporti

In alto sono mostrati la risposta impulsiva triangolare troncata e il segnale rettangolare, entrambi con supporto fra zero e T. In basso la convoluzione ha supporto fra zero e 2T, cresce fino a T/2 in t=T e poi torna a zero. Gli assi sono normalizzati con T.

1. Trovare la sovrapposizione

   Non si integra sempre da 0 a T: i limiti dipendono da t.

   $$y(t)=\int_{\max(0,t-T)}^{\min(T,t)}\left(1-\frac{\tau}{T}\right)d\tau\quad(0\le t\le2T)$$

2. Separare gli intervalli

   L’integrale è nullo quando non c’è sovrapposizione.

   $$y(t)=\begin{cases}t-t^2/(2T)&0\le t\le T\\(2T-t)^2/(2T)&T<t\le2T\\0&\text{altrimenti}\end{cases}$$

3. Controllare il risultato

   La risposta è continua, non negativa e ha supporto [0,2T].

   $$y(T)=T/2,\quad\int_{-\infty}^{\infty}y(t)dt=T^2/2$$