Condensatore veloce
La sua tensione è la variabile x. Insieme alla non linearità, reagisce più rapidamente e piega la traiettoria.
LAB 02 · sistemi dinamici non lineari
Due inizi quasi uguali. Due storie diverse.
Premi “Pausa” e “Ricomincia” per seguire due punti che partono quasi dallo stesso posto. Nel comportamento caotico le due strade si separano, anche se le regole matematiche rimangono identiche.
Percorso blu · partenza APercorso rosso · partenza BTraccia grigia · forma generale
Pensa a due palline su un percorso pieno di curve.
Le lasci partire quasi dallo stesso punto. Ogni curva può amplificare la piccola differenza iniziale, finché le palline prendono strade molto diverse. È un’analogia: qui non simuliamo palline, ma tensioni e correnti in un circuito.
Guarda prima le due tracce. Poi cambia solo “Differenza iniziale” e premi “Ricomincia”. Il caos segue regole precise: una piccola incertezza iniziale può però rendere difficile prevedere il futuro lontano.
VISTA X–Z · DUE VALORI DEL MODELLO
X, Y e Z sono tre numeri che riassumono lo stato del modello. “Adimensionali” significa che qui non sono espressi direttamente in volt o ampere. La scala resta fissa per rendere i confronti leggibili.
Approfondimento facoltativo: componenti e collegamenti del circuito
Dal modello ai componenti.
Questa breadboard non è un’immagine: ogni foro appartiene a un nodo elettrico. Puoi togliere i componenti, rimontarli, cambiare i valori e vedere il modello fermarsi quando la topologia è incompleta oppure ricalcolarsi quando il circuito è valido.
- 01Scegli un componente, poi tocca i due fori nei quali vuoi inserire i terminali.
- 02Collega C₁ e il resistore non lineare al nodo X; collega C₂ e L al nodo Y; unisci X e Y con R.
- 03Cambia un valore alla volta. Il grafico usa C₁, C₂, L, R e le pendenze reali per ricalcolare α, β, m₀ e m₁.
Alimentazione duale degli operazionali
+9 V
0 V
−9 V
Le file a–e e f–j sono collegate verticalmente per colonna.Il modulo ±9 V alimenta gli operazionali; la linea blu è il riferimento comune.
Il preset usa la realizzazione robusta pubblicata da M. P. Kennedy: C₁ = 10 nF, C₂ = 100 nF, L = 18 mH e R regolabile; il blocco Nᵣ rappresenta la rete a due operazionali e sei resistori. In un montaggio fisico gli operazionali richiedono alimentazione duale ±9 V e condensatori di bypass. Rapporto tecnico UC Berkeley ↗
Prima l’idea. Poi i dettagli.
Un circuito di Chua conserva energia in due condensatori e in un induttore. Un resistore la dissipa; un elemento non lineare la redistribuisce. In una certa zona dei parametri la traiettoria non si ferma né si ripete: disegna i due lobi del “double scroll”.
Condensatore lento
La sua tensione è la variabile y. Scambia energia con C₁ e con il ramo induttivo.
Induttore
La corrente nel ramo induttivo corrisponde alla variabile z, dopo la normalizzazione del modello.
Resistore lineare
Regola l’accoppiamento fra le due sezioni e, nel circuito fisico, è spesso il parametro che si varia per attraversare i regimi dinamici.
Diodo di Chua
Non è un normale diodo: è un resistore non lineare con caratteristica a tratti, normalmente realizzato con operazionali e resistori.
Scarto iniziale
È la piccola differenza fra le due condizioni iniziali. Non cambia il sistema: serve a rendere visibile la sensibilità alle condizioni iniziali.
Scala relativa
Moltiplica la velocità di x rispetto alle altre variabili. Nel modello normalizzato controlla il rapporto fra le dinamiche capacitive.
Ramo induttivo
Pesa quanto rapidamente z reagisce a y. Cambiandolo si modifica l’accoppiamento con la dinamica dell’induttore.
Pendenze non lineari
m₀ è la pendenza nel tratto centrale di h(x); m₁ quella nei tratti esterni. Devono restare distinti per ottenere la piega caratteristica.
Come viene calcolato.
Dal parametro al punto sul grafico
A ogni passo il browser calcola le tre derivate del sistema, poi applica Runge–Kutta del quarto ordine con Δt = 0,005. Il metodo valuta quattro pendenze e ne usa una media pesata: è più stabile e accurato di un singolo passo di Eulero a parità di intervallo.
Perché c’è una curva grigia
Prima della visualizzazione si scartano 2.200 passi di transitorio. Poi si calcola un’orbita di riferimento di 5.200 punti con gli stessi parametri. Le curve blu e rossa partono da due stati separati da δ e vengono integrate in tempo reale.
Lettura rigorosa del modello
Il sistema integrato è x′=α[y−x−h(x)], y′=x−y+z, z′=−βy, con h(x)=m₁x+½(m₀−m₁)(|x+1|−|x−1|). La quantità mostrata come λ(t) è ln(‖Δs(t)‖₂/δ)/t: è una stima a tempo finito, non un esponente di Lyapunov convergente.
Cosa questo laboratorio non simula
I parametri sono adimensionali e non sono convertiti automaticamente in valori di resistori, condensatori e induttore. Per costruire il circuito fisico servono uno schema calibrato, tolleranze reali, alimentazione duale, oscilloscopio e una verifica separata della realizzazione del resistore non lineare.