Un impulso non cancella le altre sorgenti

Dopo l’impulso resta soltanto un esponenziale?

Schema ricostruito dai materiali di Andrea

Grafico di una tensione in funzione del tempo: la curva tratteggiata continua a oscillare per effetto delle sorgenti permanenti; la curva blu parte con un salto Q₀/C e si avvicina al regime per il decadimento esponenziale della risposta libera. I valori di esempio e le unità sono riportati nella figura.

Il modello che usiamo

R,C>0; α<1; Rₑ=(1−α)R e τ=RₑC.
Ingresso a(t)=A₀+A₁sin(ωt)+Q₀δ(t), attivo anche per t>0; regime prima dell’impulso.
Il circuito è rappresentato dall’equazione di stato ricavata nel materiale; non si attribuisce a un RC passivo il generatore controllato.

Scrivere il modello
La sorgente continua e la sinusoide non sono state spente.
$\tau\dot v+v=R_e[A_0+A_1\sin(\omega t)+Q_0\delta(t)]$
Separare il regime
La parte forzata continua dopo t=0.
$v_{ss}(t)=R_eA_0+\frac{R_e A_1}{1+(\omega\tau)^2}[\sin(\omega t)-\omega\tau\cos(\omega t)]$
Integrare sul salto
L’impulso modifica la condizione iniziale; il termine libero si somma al regime.
$v(0^+)-v(0^-)=\frac{Q_0}{C},\quad v(t)=v_{ss}(t)+\frac{Q_0}{C}e^{-t/\tau}\quad(t>0)$

Il risultato

v(t)=v_{ss}(t)+\frac{Q_0}{C}e^{-t/\tau}

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