Andrea MarroScrivimi su WhatsApp ↗
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Quale raggio entra nella dinamica?

Quale raggio determina l’inerzia e quale il vincolo con la fune?

Quale raggio entra nella dinamica?
Schema ricostruito dai materiali di Andrea

Carrucola anulare con raggio interno R1 ed esterno R2, asse fisso al centro. La fune è tangente al bordo esterno R2 e sostiene m. Sulla massa agiscono peso mg verso il basso e tensione T verso l’alto. L’accelerazione della massa è verso il basso; il vincolo senza slittamento lega a e alfa attraverso R2.

Il modello che usiamo

  • Corona omogenea massa M,0<=R1<R2; asse fisso senza attrito.
  • Fune ideale avvolta al raggio esterno R2, senza slittamento.
  • Massa m inizialmente ferma; dislivello H.

  1. Inerzia

    Ricavare la corona come differenza di cilindri omogenei.

    I=12M(R12+R22)I=\tfrac12M(R_1^2+R_2^2)

  2. Dinamica e vincolo

    Traslazione della massa e rotazione della carrucola sono collegate.

    mg−T=ma,TR2=Iα,a=αR2mg-T=ma,\quad TR_2=I\alpha,\quad a=\alpha R_2

  3. Energia

    Un controllo indipendente usa il vincolo di velocità.

    mgH=12mv2+12I(v/R2)2mgH=\tfrac12mv^2+\tfrac12I(v/R_2)^2

Il risultato

a=mgm+M2(1+R12/R22),v=2aH,t=2H/aa=\frac{mg}{m+\frac M2(1+R_1^2/R_2^2)},\qquad v=\sqrt{2aH},\quad t=\sqrt{2H/a}

Hai un passaggio da chiarire?

Scrivimi che cosa stai preparando. L’esempio è un punto di partenza: il lavoro segue il tuo programma.

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