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Frequenze diverse: come si calcola il valore efficace?

Si possono sommare i fasori a frequenze diverse?

Generatore di corrente collegato in parallelo a un resistore R e a un condensatore C.
Schema ricostruito dai materiali di Andrea

Generatore di corrente collegato in parallelo a un resistore R e a un condensatore C. La corrente è somma di componente continua e due armoniche. Sotto lo schema, il quadrato del valore efficace della tensione è la somma dei contributi quadratici, non una somma di fasori a frequenze diverse.

Il modello che usiamo

  • RC parallelo ideale, generatore di corrente a(t)=A₀+A₁sin(ωt)+A₂cos(2ωt).
  • Regime periodico con ω>0; A₁,A₂ sono ampiezze di picco.
  • Il periodo di media è 2π/ω.

  1. Separare le armoniche

    Ogni frequenza vede una diversa impedenza.

    Z(jΩ)=R1+jΩRCZ(j\Omega)=\frac{R}{1+j\Omega RC}

  2. Calcolare le ampiezze

    La componente continua è separata dalle sinusoidi.

    V0=RA0,Bk=R∣Ak∣1+(kωRC)2(k=1,2)V_0=RA_0,\quad B_k=\frac{R|A_k|}{\sqrt{1+(k\omega RC)^2}}\quad(k=1,2)

  3. Sommare i quadrati medi

    I termini incrociati si annullano su un periodo comune.

    Vrms2=V02+B12+B222,PR=Vrms2RV_{rms}^2=V_0^2+\frac{B_1^2+B_2^2}{2},\quad P_R=\frac{V_{rms}^2}{R}

Il risultato

Vrms2=(RA0)2+(RA1)22[1+(ωRC)2]+(RA2)22[1+(2ωRC)2]V_{rms}^2=(RA_0)^2+\frac{(RA_1)^2}{2[1+(\omega RC)^2]}+\frac{(RA_2)^2}{2[1+(2\omega RC)^2]}

Preparazione di Elettrotecnica

«Ha chiarito tutti i dubbi che avevo.»
GianmarcoPreparazione di ElettrotecnicaEstratto da una recensione su Superprof ↗

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